本帖最后由 guqu 于 2020-2-28 13:33 编辑
>>
我也给你们整一道期末复习题，做对了有人气和金
>>设函数f(x)在[a,b]上连续，在（a,b）内可导，且f(a)=f(b)=0。证明：至少存在一点ζ∈(a,b)，使得f'(ζ)=f(ζ)。
>>请尽量使用某名人的定理来使证明更加准确
>>正解见22楼和21楼
粒
>>
我也给你们整一道期末复习题，做对了有人气和金>>设函数f(x)在[a,b]上连续，在（a,b）内可导，且f(a)=f(b)=0。证明：至少存在一点ζ∈(a,b)，使得f'(ζ)=f(ζ)。
>>请尽量使用某名人的定理来使证明更加准确
>>正解见22楼和21楼
粒
等一会就会有一堆秃头来这里给你答案和代码
刚上完网课就看到。。求你饶了我把。。。
表示初三好多符号都没学，，，，
所以x=a+b就代表f'=2x=我啥也不知道
求求你放过我吧，好不容易上完网课，看个论坛也有人折磨我
在下晴天 发表于 2020-2-28 12:26
表示初三好多符号都没学，，，，
柑橘是高数的题目初三肯定没学压
在下晴天 发表于 2020-2-28 12:26
表示初三好多符号都没学，，，，
在？哪里人
不会。。。
湖，北黄，冈，浠，水的（乡下）
本帖最后由 雨韵 于 2020-2-28 12:36 编辑
设g(x)=f(x)e^-?x,由题意知个g(x)连续且可导,
又∵g(a)=g(b)=0,由有限增量公式得必有g'(§)=0
g'(§)=(f'(§)e^-?§)-(?f(§)e^-?§)=0
即2f＇(§)=f(§)
证伪.
我发现二分之一之类的符号不显示= =
放出图片
懒得裁减了，，凑活看吧
设g(x)=f(x)e^-?x,由题意知个g(x)连续且可导,
又∵g(a)=g(b)=0,由有限增量公式得必有g'(§)=0
g'(§)=(f'(§)e^-?§)-(?f(§)e^-?§)=0
即2f＇(§)=f(§)
证伪.
我发现二分之一之类的符号不显示= =
放出图片
懒得裁减了，，凑活看吧
没人喜欢做数学的23333
雨韵 发表于 2020-2-28 12:31
设g(x)=f(x)e^-?x,由题意知个g(x)连续且可导,
又∵g(a)=g(b)=0,由有限增量公式得必有g'(§)=0
g'(§)=(f'( ...
>>亲亲，你这边相当于证明了另一道题，本题还未证出来哦
>>（构造不同的函数，在同一已知条件下可以证明出来不同的结论）
>>（本题无错）
我喜欢上数学课在盘边放英文歌
不会，劝退，我脑子智商不够
不不不……数学什么的太恐怖了
“粒”很个性
本帖最后由 Jaanai 于 2020-2-28 13:22 编辑
这儿的markdown能用LaTeX吗。。
竟然不能用latex？
上图：
这儿的markdown能用LaTeX吗。。
设$g(x)=\frac{f(x)}{e^{x}}$
则$g'(x)=\frac{f'(x)-f(x)}{e^{x}}$
因为$f(a)=f(b)=0$，所以$g(a)=g(b)=0$
显然$g(x)$在$(a,b)$上可导，所以$g'(x)$在$(a,b)$上一定存在零点（否则$g(x)$会严格单调，不可能使$g(a)=g(b)$）
所以存在$x{0}$使得$g(x{0})=0$，即$f'(x)-f(x)=0$
所以存在$f'(x)=f(x)$的点
竟然不能用latex？
上图：
本帖最后由 IDwrong 于 2020-2-28 13:22 编辑
f(a)=f(b)=0 所以至少有一点使f'(x)=0，设这样的第一个点为c
在(a,c)上
若f'(x)>0 则f(x)递增，f(c)>f'(c)。f(a)=0<=f'(a) 所以有一个交点。
若f'(x)<0 则f(x)递减，f(c)<f'(c)。f(a)=0>=f'(c) 所以有一个交点。
综上 (a,b)内至少有一个点使得f(x)=f'(x)
f(a)=f(b)=0 所以至少有一点使f'(x)=0，设这样的第一个点为c
在(a,c)上
若f'(x)>0 则f(x)递增，f(c)>f'(c)。f(a)=0<=f'(a) 所以有一个交点。
若f'(x)<0 则f(x)递减，f(c)<f'(c)。f(a)=0>=f'(c) 所以有一个交点。
综上 (a,b)内至少有一个点使得f(x)=f'(x)
好像哪里不太对劲？
构造辅助函数g(x)=e-xf(x)
有g'(x)=-e-xf(x)+e-xf'(x)=e-x[f'(x)-f(x)]
g(a)=g(b)=0，罗尔中值定理（懒得写了）
存在g'(x)=0, x∈(a,b)
因为e-x>0
所以必然存在f'(x)-f(x)=0, x∈(a,b)
即f'(x)=f(x), x∈(a,b)
得证
$g(x)=\frac{f(x)}{e^{x}}$这个的意思是g(x)=f(x)*e^x吗guqu 发表于 2020-2-28 13:24
$g(x)=\frac{f(x)}{e^{x}}$这个的意思是g(x)=f(x)*e^x吗
不是，是分数线（下面贴出图了