本帖最后由 IDwrong 于 2020-2-28 13:22 编辑

f(a)=f(b)=0 所以至少有一点使f'(x)=0，设这样的第一个点为c
在(a,c)上
若f'(x)>0 则f(x)递增，f(c)>f'(c)。f(a)=0<=f'(a) 所以有一个交点。
若f'(x)<0 则f(x)递减，f(c)<f'(c)。f(a)=0>=f'(c) 所以有一个交点。
综上 (a,b)内至少有一个点使得f(x)=f'(x)

这玩意不就是中值定理嘛，书上都有，懒得抄

好像哪里不太对劲？

构造辅助函数g(x)=e^-xf(x)
有g'(x)=-e^-xf(x)+e^-xf'(x)=e^-x[f'(x)-f(x)]
g(a)=g(b)=0，罗尔中值定理（懒得写了）
存在g'(x)=0, x∈(a,b)
因为e^-x>0
所以必然存在f'(x)-f(x)=0, x∈(a,b)
即f'(x)=f(x), x∈(a,b)
得证

$g(x)=\frac{f(x)}{e^{x}}$这个的意思是g(x)=f(x)*e^x吗

不是，是分数线（下面贴出图了